Penjelasan Tentang Pengertian Fakta, Prinsip, Konsep Dan Algoritma Matematika

Penjelasan Tentang Pengertian Fakta,  Prinsip, Konsep Dan Algoritma Matematika

a)   Fakta

            Fakta dalam matematika adalah suatu konvensi dalam matematika, suatu ide matematika yang disajikan dalam bentuk kata-kata maupun simbol-simbol atau gambar-gambar (Fahinu dalam Wahamida, 1999: 13). Misalnya perkataan “lima”, maka dalam pikiran kita terbayang simbol “5”. Sebaliknya jika kita melihat simbol “5”, maka dalam pikiran kita terbayang kata “lima”. Kaitan antara kata “lima” dengan simbol “delapan” merupakan fakta. Contoh lain dari Fakta adalah perkataan “bilangan bulat”, maka dalam pikiran kita terbayang “bilangan positif (1,2,3,4,5,….), bilangan nol (0) dan bilangan negatif (-1,-2,-3,-4,…….)”. Sebaliknya bila kita melihat simbol “bilangan positif (1,2,3,4,5,…….), bilangan nol (0) dan bilangan negatif (-1,-2,-3,-4,…….)”, maka dalam pikiran kita terbayang kata “bilangan bulat”. Kaitannya antara kata “bilangan bulat” dengan simbol “bilangan positif (1,2,3,4,5,…….), bilangan nol (0) dan bilangan negatif (-1,-2,-3,-4,…….)” adalah fakta.

b)   Konsep

            Konsep yaitu ide abstrak yang memungkinkan seseorang menggolong-golongkan obyek atau peristiwa dalam matematika, misalnya konsep bilangan bulat, konsep bilangan cacah, bilangan negatif dan sebagainya. Sehubungan dengan batasan masalah dalam penelitian ini yaitu beberapa konsep dalam penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat pada garis bilangan bulat adalah:

1)   Penjumlahan Bilangan Bulat Menggunakan Garis Bilangan

            Garis bilangan adalah suatu garis lurus yang terdiri dari titik-titik yang memuat bilangan-bilangan, bilangan yang terletak disebelah kiri bilngan lain akan bernilai lebih kecil, sedangkan bilangan yang terletak disebelah kanan bilangan lain akan bernilai lebih besar. Himpunan  bilangan bulat adalah himpunan  bilangan yang terdiri dari  bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan  bulat  positif. Penjumlahan bilangan bulat memiliki sifat komutatif (pertukaran), asosiatif (pengelompokkan), dan sifat nol (0) sebagai identitas. Jika arah panah menuju ke kanan, menunjukkan bilangan bulat positif. Jika arah panah menuju ke kiri, menunjukkan bilangan bulat negatif.

Contoh 1 :

Menunjukkan bilangan 7

Menunjukkan bilangan -7

      Penjumlahan bilangan bulat dengan arah panah dimulai dari bilangan nol diperlihatkan pada contoh berikut ini :

Contoh 2:

Tentukan hasil penjumlahan dari 5 + (-7) = . . .

Jawab :

      5+ (-7) = ….

1.      Tempatkan model pada skala 0 dan menghadap ke bilangan positif

2.        Langkahkan model tersebut satu langkah demi satu langkah maju dari angka 0 sebanyak 5 skala. Hal ini untuk menunjukan bilangan pertama dari operasi tersebut, adalah positif 5

3.        Karena bilangan ke-2 adalah bilangan -7 yang merupakan bilangan bertanda negatif, maka pada skala 5 tersebut posisi model harus dihadapkan ke bilangan negatif.

4.        Karena operasi hitungnya adalah operasi penjumlahan (menambah), yaitu oleh bilangan (-7) berarti model tersebut harus dilangkahkan maju dari angka 5 satu langkah demi satu langkah sebanyak 7 skala

Posisi terakhir dari model pada langkah keempat di atas terletak pada skala -2 dan ini menunjukan hasil dari 5 + (-7). Jadi, 5 + (-7) = -2

2)   Pengurangan Bilangan Bulat pada Garis Bilangan

            Pengurangan adalah lawan dari penjumlahan. Bagaimana cara mengurangkan bilangan bulat. Diperlihatkan contoh berikut ini :

Contoh 3:

Tentukan hasil pengurangan (-7) – 3 = . . .

Jawab :

1.   Tempatkanlah model pada skala nol dan menhadap ke bilangan negatif.

2.   Langkahkan model tersebut satu langkah demi satu langkah maju dari angka 0 sebanyak 7 skala. Hal ini menunjukan bilangan pertama dari operasi tersebut, yaitu negatif 7.

3.   Karena bilangan ke-2 bertanda positif , maka pada skala tersebut posisi model harus kita hadapkan ke bilangan positif.

4.   Karena operasi hitungnya merupakan operasi pengurangan, berarti langkahkan model tersebut mundur dari angka -7 satu langkah demi satu langkah sebanyak 3 skala (karena bilangan pengurangnya 3).

          

            Kedudukan terakhir dari model pada langkah ke empat di atas terletak pada skala    -10, dan ini merupakan hasil dari (-7) - 3 = -10

c)    Prinsip

            Prinsip yaitu penyamaan yang menyamakan berlakunya suatu hubungan antara beberapa konsep. prinsip yang dimaksud adalah sifat, dalil, aturan ataupun rumus matematika dalam menyelesaikan soal-soal penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat pada garis bilangan.

            Misalkan dua bilangan bulat a dan b, Konsep-konsep yang dimaksud di sini adalah (bilangan bulat negative, nol, dan bilangan bulat positif serta arah dan jarak bilangan) membentuk prinsip-prinsip penjumlahan (a+b) dan pengurangan (a-b) bilangan bulat melalui penggunaan garis bilangan adalah:

1.      Perhitungan pertama dilakukan terhadap bilangan bulat a kemudian dilanjutkan dengan bilangan bulat b.

2.      Dalam menghitung/menentukan bilangan a, perhitungan dimulai dari bilangan bulat nol menuju arah bilangan bulat nol menuju arah bilangan bulat a (ke kanan jika a positif dank e kiri jika a negative)

3.      Bilangan a selanjutnya dijumlahkan atau dikurangkan dengan bilangan bilangan bulat b dengan cara melakukan perhitungan mulai angka bilangan a dengan memperhatikan tanda operasinya (+ ataui -) serat arah bilangan bulat b (postif atau negative)

4.      Ada 2 kemungkinan arah perhitungan bilangan bulat b dalam operasi penjumlahan (a+b)

a.      Perhitungan dimulai dari angka bilangan a kea rah kanan jika b merupakan bilangan bulat positif (a+b)

b.      Perhitungan dimulai dari angka bilangan a ke kiri jika b merupakan bilangan bulat negative (-a+(-b))

c.       Perhitungan dimulai dari angka bilangan a ke arah kanan jika b merupakan bilangan bulat negative (a+(-b))

d.      Perhitungan dimulai dari angka bilangan a kearah kiri jika b merupakan bilangan bulat positif (-a+b)

5.      Ada 2 kemungkinan arah perhitungan bilangan bulat b dalam operasi pengurangan (a-b)

a.       Perhitungan dimulai dari angka bilangan a kea rah kanan jika b merupakan bilangan bulat negatif (a-b)

b.      Perhitungan dimulai dari angka bilangan a kearah kanan jika b merupakan bilangan bulat negative (a-(-b))

c.       Perhitungan dimulai dari angka bilangan a ke arah kiri jika b merupakan bilangan bulat positif (-a-(-b))

d.      Perhitungan dimulai dari angka bilangan a kearah kiri jika b merupakan bilangan bulat positif (-a-b)

6.      Hasil dari operasi penjumlahan (a+b) atau pengurangan (a-b) adalah angka bilangan yang ditunjukan oleh arah panah terakhir.

d)     Algoritma

            Algoritma (Prosedur) yaitu penguasaan dalam menyelesaikan atau memecahkan masalah soal-soal hitung matematika yang mencakup dua pengerjaan yakni penjumlahan dan pengurangan syarat berlaku, kapan berlaku dan kapan pula tidak berlaku serta bagaimana menetapkan dan memanipulasi konsep-konsep tersebut. Didalam prosedur/algoritma siswa memiliki Skill atau keterampilan dalam menyelesaikan matematika secara procedural adalah kemampuan pengerjaan (operasi) dan prosedur yang harus dikuasai oleh siswa dengan kecepatan dan ketepatan yang tinggi, misalnya operasi hitung, operasi himpunan.

e.       Pemecahan Masalah

A.  Pengertian dan Hakekat Pemecahan Masalah

Terdapat banyak interpretasi tentang pemecahan masalah dalam matematika. Di antaranya pendapat Polya (1985) yang banyak dirujuk pemerhati matematika. Polya mengartikan pemecahan masalah sebagai suatu usaha mencari jalan keluar dari suatu kesulitan guna mencapai suatu tujuan yang tidak begitu segera dapat dicapai. Sementara Sujono (1988) melukiskan masalah matematika sebagai tantangan bila pemecahannya memerlukan kreativitas, pengertian dan pemikiran yang asli atau imajinasi. Berdasarkan penjelasan Sujono tersebut maka sesuatu yang merupakan  masalah bagi seseorang, mungkin  tidak  merupakan masalah bagi orang lain atau merupakan hal yang rutin saja.

Ruseffendi (1991b) mengemukakan bahwa suatu soal merupakan soal pemecahan masalah bagi seseorang bila ia memiliki pengetahuan dan kemampuan untuk menyelesaikannya, tetapi pada saat ia memperoleh soal itu ia belum tahu cara menyelesaikannya. Dalam kesempatan lain Ruseffendi (1991a) juga mengemukakan bahwa suatu persoalan itu merupakan masalah bagi seseorang jika: pertama, persoalan itu tidak dikenalnya. Kedua, siswa harus mampu menyelesaikannya, baik kesiapan mentalnya maupun pengetahuan siapnya; terlepas daripada apakah akhirnya ia sampai atau tidak kepada jawabannya. Ketiga, sesuatu itu merupakan pemecahan masalah baginya, bila ia ada niat untuk menyelesaikannya.

Lebih spesifik Sumarmo (1994) mengartikan pemecahan masalah sebagai kegiatan menyelesaikan soal cerita, menyelesaikan soal yang tidak rutin, mengaplikasikan matematika dalam kehidupan sehari-hari atau keadaan lain, dan membuktikan atau menciptakan atau menguji konjektur. Berdasarkan pengertian yang dikemukakan Sumarmo tersebut, dalam pemecahan masalah matematika tampak adanya kegiatan pengembangan daya matematika (mathematical power) terhadap siswa.

Pemecahan masalah merupakan salah satu tipe keterampilan intelektual yang menurut Gagné, dkk (1992) lebih tinggi derajatnya dan lebih kompleks dari tipe keterampilan intelektual lainnya. Gagné, dkk (1992) berpendapat bahwa dalam menyelesaikan pemecahan masalah diperlukan aturan kompleks atau aturan tingkat tinggi dan aturan tingkat tinggi dapat dicapai setelah menguasai aturan dan konsep terdefinisi. Demikian pula aturan dan konsep terdefinisi dapat dikuasai jika ditunjang oleh pemahaman konsep konkrit. Setelah itu untuk memahami konsep konkrit diperlukan keterampilan dalam memperbedakan.

Keterampilan-keterampilan intelektual tersebut digolongkan Gagné berdasarkan tingkat kompleksitasnya dan disusun dari operasi mental yang paling sederhana sampai pada tingkat yang paling kompleks. Keterampilan-keterampilan intelektual tersebut digambarkan oleh Gagné, dkk (1992) secara hierarki seperti pada Gambar 1.

PEMECAHAN MASALAH

|

melibatkan pembentukan

|

ATURAN-ATURAN TINGKAT TINGGI

|

membutuhkan prasyarat

|

ATURAN dan KONSEP-KONSEP TERDEFINISI

|

membutuhkan prasyarat

|

KONSEP-KONSEP KONKRIT

|

membutuhkan prasyarat

|

MEMPERBEDAKAN

|

Gambar 1. Tingkat-tingkat Kompleksitas
|

dalam Keterampilan Intelektual

Oleh karena itu dengan mengacu pada pendapat-pendapat di atas, maka pemecahan masalah dapat dilihat dari berbagai pengertian. Yaitu, sebagai upaya mencari jalan keluar yang dilakukan dalam mencapai tujuan. Juga memerlukan kesiapan, kreativitas, pengetahuan dan kemampuan serta aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Di samping itu pemecahan masalah merupakan persoalan-persoalan yang belum dikenal; serta mengandung pengertian  sebagai  proses  berfikir  tinggi dan  penting  dalam pembelajaran matematika.

B.   Langkah-Langkah Menyelesaikan Pemecahan Masalah Matematika

Cara memecahkan masalah dikemukakan oleh beberapa ahli, di antaranya Dewey dan Polya. Dewey (dalam Rothstein dan Pamela 1990) memberikan lima langkah utama dalam memecahkan masalah,

1)    mengenali/menyajikan masalah: tidak diperlukan strategi pemecahan masalah jika bukan merupakan masalah; 2) mendefinisikan masalah: strategi pemecahan masalah menekan-kan pentingnya definisi masalah guna menentukan banyaknya kemungkinan penyelesian; 3) mengembangkan beberapa hipote-sis: hipotesis adalah alternatif penyelesaian dari pemecahan masalah; 4) menguji beberapa hipotesis: mengevaluasi kele-mahan dan kelebihan hipotesis; 5)  memilih hipotesis yang terbaik.

Sebagaimana Dewey, Polya (1985) pun menguraikan proses yang dapat dilakukan pada setiap langkah pemecahan masalah. Proses tersebut     terangkum  dalam  empat  langkah   berikut:  1)   memahami masalah (understanding the problem). 2) merencanakan penyelesaian (devising a plan).  3) melaksanakan rencana (carrying out the plan). 4) memeriksa proses dan hasil (looking back).

Lebih jauh Polya merinci setiap langkah di atas dengan pertanyaan-pertanyaan yang menuntun seorang problem solver menyelesaikan dan menemukan jawaban dari masalah. Sebagai contoh pada langkah memahami masalah diajukan pertanyaan-pertanyaan: Apa yang tidak diketahui? Data apa yang diberikan? Mungkinkah kondisi dinyatakan dalam bentuk  persamaan  atau  hubungan  lainnya?  Buatlah  gambar  dan  tulislah notasi yang sesuai.

Pada langkah merencanakan penyelesaian diajukan pertanyaan di antaranya seperti: Pernah adakah soal seperti ini yang serupa sebelumnya diselesaikan? Dapatkah pengalaman yang lama digunakan dalam masalah yang sekarang?

Pada langkah melaksanakan rencana diajukan pertanyaan: Periksalah bahwa tiap langkah sudah benar? Bagaimana membuktikan bahwa langkah yang dipilih sudah benar? Dalam langkah memeriksa hasil dan proses, diajukan pertanyaan: Dapatkah diperiksa sanggahannya? Dapatkah jawaban itu dicari dengan cara lain?

Langkah-langkah penuntun yang dikemukakan Polya tersebut, dikenal dengan strategi heuristik. Strategi yang dikemukakan Polya ini banyak dijadikan acuan oleh banyak orang dalam penyelesaian masalah matematika.

Berangkat dari pemikiran yang dikemukakan oleh ahli tersebut, maka untuk menyelesaikan masalah diperlukan kemampuan pemahaman konsep sebagai prasyarat dan kemampuan melakukan hubungan antar konsep, dan kesiapan secara mental. Pada sisi lain berdasarkan pengamatan Soleh (1998), salah satu sebab siswa tidak berhasil dalam belajar matematika selama ini adalah siswa belum sampai pada pemahaman relasi (relation understanding), yang dapat menjelaskan hubungan antar konsep. Hal itu memberikan gambaran kepada kita adanya tantangan yang tidak kecil dalam mengajarkan pemecahan masalah matematika.

f.       Tanda –tanda adanya masalah bagi siswa dalam pembelajaran matematika

-          Kognitif (Penguasaan Konsep Matematika)

Pada hakikatnya penguasaan konsep matematika siswa dipengaruhi oleh beberapa hal, antara lain: siswa yang tidak menguasai konsep matematika adalah siswa yang tidak berhasil menyelesaikan masalah yang diberikan dalam bentuk tes baik essay maupun pilihan ganda. Siswa yang tidak berhasil menyelesaikan masalah di post tes saya anggap tidak memahami materi yang saya berikan dalam pembelajaran. Namun, kendala mengenai permasalahan tersebut masih tetap ada yakni Kejujuran siswa dan sistem kerja kelompok sangat mempengaruhi hasil yang diberikan. Jika hal ini yang terjadi, maka kriteria penguasaan konsep yang saya berikan menjadi bias.Indikator peguasaan konsep siswa juga ditentukan dari hasil ulangan harian misalnya. diAsumsikan bahwa siswa yang tidak berhasil menyelesaikan permasalahan yang diberikan di ulangan harian, maka ingatan jangka panjangnya tidak bagus. Sedangkan Artigue (2001:57), menyatakan bahwa ingatan jangka panjang yang baik artinya konsep yang diterima telah masuk kedalam ranah psikologis siswa. Akibatnya adalah kapanpun siswa ditanya mengenai konsep yang telah diberikan, diyakini bahwa siswa tersebut dapat menjawab pertanyaan konsep.

-          Afektif (Self Concept)

Konsep diri adalah semua ide, pikiran, kepercayaan dan pendirian yang diketahui individu tentang dirinya dan mempengaruhi individu dalam berhubungan dengan orang lain (Stuart dan Sudeen, 1998). Hal ini temasuk persepsi individu akan sifat dan kemampuannya, interaksi dengan orang lain dan lingkungan, nilai-nilai yang berkaitan dengan pengalaman dan objek, tujuan serta keinginannya. Sedangkan menurut Beck, Willian dan Rawlin (1986) menyatakan bahwa konsep diri adalah cara individu memandang dirinya secara utuh, baik fisikal, emosional intelektual , sosial dan spiritual.

Berdasarkan pengertian di atas konsep diri yang dimiliki seseorang bukan bawaan dari lahir melainkan diperoleh dari belajar atau berinteraksi dengan orang lain dan lingkungannya.orang tersebut akan memiliki konsep diri yang positif, sehingga dapat melaksanakan fungsi dan tugas dirinya di tengah-tengah lingkungannya dengan baik. Hal ini sejalan dengan pendapat Agus Sujudi, “seseorang yang memiliki konsep diri positif akan dapat melaksanakan tugasnya dengan baik dan bertanggung jawab terhadap pekerjaannya. Dengan demikian konsep diri ini dapat dipelajari dan dikembangkan” (Agus Sujudi, dan kawan-kawan; 1997: 12).Menurut Jacinta, Konsep diri dapat didefinisikan secara umum sebagai keyakinan, pandangan atau penilaian seseorang terhadap dirinya. Seseorang dikatakan mempunyai konsep diri negatif jika ia meyakini dan memandang bahwa dirinya lemah, tidak berdaya, tidak dapat berbuat apa-apa, tidak kompeten, gagal, malang, tidak menarik, tidak disukai dan kehilangan daya tarik terhadap hidup.
Orang dengan konsep diri negatif akan cenderung bersikap pesimistik terhadap kehidupan dan kesempatan yang dihadapinya. Ia tidak melihat tantangan sebagai kesempatan, namun lebih sebagai halangan. Orang dengan konsep diri negatif, akan mudah menyerah sebelum berperang dan jika gagal, akan ada dua pihak yang disalahkan, entah itu menyalahkan diri sendiri (secara negatif) atau menyalahkan orang lain. Sebaliknya seseorang dengan konsep diri yang positif akan terlihat lebih optimis, penuh percaya diri dan selalu bersikap positif terhadap segala sesuatu, juga terhadap kegagalan yang dialaminya. Kegagalan bukan dipandang sebagai kematian, namun lebih menjadikannya sebagai penemuan dan pelajaran berharga untuk melangkah ke depan. Orang dengan konsep diri yang positif akan mampu menghargai dirinya dan melihat hal-hal yang positif yang dapat dilakukan demi keberhasilan di masa yang akan datang.

Factor-faktor yang mempengaruhi self konsep adalah perkembangan anak terhadap lingkungannya, orang yang terpenting atau yang terdekat, (persepsi diri sendiri)

Referensi

www.majalahpendidikan .com/2011/05/pengertian konsep diri

www.diwarta.com/pengertian konsep diri dan faktor yang mempengaruhinya.

Branca, N.A (1980). Problem Solving as a Goal, Process and Basic Skill. Dalam Krulik,S dan Reys,R.E (ed). Problem Solving in School Mathematics. NCTM: Reston. Virginia

Gagné,R.M, Briggs, L.J dan Wager, W.W (1992). Principles of Instructional Design (4^nd ed). Orlando: Holt, Rinehart and Winstone, Inc.

Polya, G  (1985).  How to Solve It .  A  New  Aspect  of  Mathematical  Method (2^nd ed). Princeton, New Jersey : Princeton University Press.

Rothstein dan Pamela,R (1990). Educational Pyschology. Singapore: McGraw-Hill, Inc.

Ruseffendi,E.T (1991a). Pengantar kepada Membantu Guru Mengem-bangkan Kompetensinya dalam Pengajaran Matematika untuk Meningkatkan CBSA. Bandung: Tarsito

Ruseffendi,E.T (1991b). Penilaian Pendidikan dan Hasil Belajar Siswa Khususnya dalam Pengajaran Matematika untuk Guru dan Calon Guru. Bandung: Tidak diterbitkan.

Soleh,M (1998). Pokok-Pokok Pengajaran Matematika Sekolah. Jakarta: Depdikbud

Sujono (1988). Pengajaran Matematika untuk Sekolah Menengah. Jakarta: Proyek Pengembangan LPTK, Depdikbud

Sumarmo,U, Dedy, E dan Rahmat (1994). Suatu Alternatif Pengajaran untuk Meningkatkan Pemecahan Masalah Matematika pada Guru dan Siswa SMA. Laporan Hasil Penelitian FPMIPA IKIP Bandung.